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著名数学家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各方面，使得通过这道题，就好象通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域．”高中数学教材中的例、习题凝聚了许多专家、学者的心血和经验，教材上的例、习题是教师开展教学的依据，也是学生学习探究的范本．在数学教学中，我们不能就题论题，而应重视对例、习题的教育潜能作进一步的探究，以充分挖掘其深层功能，从而给学生一片广阔的数学天空，让学生充分领略数学习题中蕴含的数学美，从而激发学生的学习的兴趣，使学生的数学学习能力、数学思维品质和数学素养得到有效的提高．本文就对教材例、习题功能的深层挖掘作一些探讨，以供参考.

1 挖掘教材例、习题的数学背景，激发学生的数学学习兴趣

前苏联教育家苏霍姆林斯基认为：实践证明，当课堂上所讲的教材里既包含一定“份额”的已有的东西又包含一定“份额”的新东西才能唤起建立在思维本质上面的稳定的兴趣．“兴趣是最好的老师”，若能在课堂教学中有效地激发学生学习数学的兴趣，对于提高学生的数学能力必然产生积极地影响．教材中有许多例、习题具有深厚的数学背景，在教学过程中如果能够注意到相关问题的数学背景，揭示出已知的东西跟新的东西的内部的深刻联系，可以有效地激发学生的学习兴趣和学习热情，达到良好的教学效果．

例1　（苏教版《数学·必修5》第54页习题2.3（1）第17题）如图，将一个边长为１的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）……试探求第 个图形的边长和周长．

（1）

（2）

（3）

在解答本题之前，可先向学生揭示其背景：这样形成的图形称为分形（fractal）．什么是分形？美籍数学家曼德勃罗特（Mandelbrot）首次提出了分形这个词汇来描述，据曼德勃罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的．此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）．此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根．在70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想．因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的．曼德勃罗特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象．例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等．它们的特点都是，极不规则或极不光滑．直观而粗略地说，这些对象都是分形．

学生了解这一背景后，原本枯燥的习题在脑海中一下子鲜活起来，学习的兴趣就会大大增强．在完成此题后，我们可以再给出以下问题让学生思考．

图1

图2

图3

问题 将正 分割成 个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为 ，则有 ， ，……， ．

本题实际上是分形思想在数列中的应用．

2 挖掘教材例、习题的变式功能，促进学生思维能力的提高

2.1 通过一题多解和一题多变，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性，是指思路宽广，善于多角度、多层次的进行探求．在数学学习的过程中，思维的广阔性又表现为，既能把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，又能抓住重要的细节和特殊因素．在解决问题时能多方位观察、多角度地思考问题；能点面结合、全面地分析问题；善于通过广泛的联想，找出隐含关系，能用不同的方法处理和解决问题．在例、习题的教学中，通过对例题的条件或结论进行改变，有助于培养学生的探究能力与创新意识，有利于学生发散性思维和开放性思维的培养．

例2 （苏教版《数学·必修5》第100页例3）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程．

解法1 由题意知，直线 的斜率存在．设直线 的方程为 ，则 ．

∴ ，当且仅当 ，即 时取等号．

∴ 的面积最小值为4，此时直线 的方程为 ，即 ．

解法2 由题意，设直线 的方程为 ．

∵点 在直线 上，∴ ．

由基本不等式，得 ，即 ．于是 ，当且仅当 ，即 时取等号．

∴ 的面积最小值为4，此时直线 的方程为 ，即 ．

解法3 同解法2，得 ，从而 ．

则 ，

∵ ，∴ ，故 ，∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ．

∴ 的面积最小值为4，此时直线 的方程为 ，即 ．

解法4 同解法2，得 ．令 ，则 ．于是 ．

∵ ，∴ ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号．此时 ．

x

y

A

B

O

M

N

∴ 的面积最小值为4，此时直线 的方程为 ，即 ．

解法5 如图，过点 分别作轴、轴的垂线 ，垂足分别为 ．设 ， ．

于是

，当且仅当 ，即 时取等号．此时直线 的斜率为 ．

∴ 的面积最小值为4，此时直线 的方程为 ，即 ．

解题后，师生共同对问题展开广泛的思考与讨论，从条件的变换中得出如下的相关问题．

问题1 过点的直线 与 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线 的方程．

问题2 过点的直线 与 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当 与 之积最小时，求直线 的方程．

问题3 过点的直线 与 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，当 与 之和最小时，求直线 的方程．

问题4 若将例题条件“ 与 轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点”改为“ 与 轴、轴分别交于两点”，则例题又该如何解决？

问题5 过点的直线 与 轴、轴分别交于两点， 的面积为4，则这样的直线有多少条？若面积为3，面积为5呢？

问题6 过点的直线 与 轴、轴分别交于两点， 的面积为 ，则这样的直线有多少条？

2.2 通过反思教学，培养学生思维的深刻性和创新性

反思是指自觉地对数学认知活动进行考查、分析、总结、评价、调节的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的主要形式．荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力．反思教学是数学教学活动中最重要的一环，在例、习题的教学中加强反思教学对于学生思维品质的提高有着重要意义，通过反思教学可以有效的培养学生思维的深刻性和创新性．

例3 （苏教版《数学·选修2-1》第42页习题2．3（1）第5题）在 中， ，直线 的斜率乘积为 ，求顶点 的轨迹．

课堂上，学生自主完成这道题目，得出答案： 点的轨迹方程为 ，其轨迹为双曲线 剔除 轴上的点．

在完成后，可以引导学生进行反思和联想：所求的双曲线中 恰好等于 ，这是巧合吗？

问题1 在 中， ，直线 的斜率乘积为 ，则顶点 的轨迹为什么？你能得出一个一般性的结论吗？

同学在讨论后，得出如下结论：

结论1 与两个定点 , 连线的斜率乘积等于定值 的动点 的轨迹方程是 ，其轨迹为双曲线 剔除 轴上的点．

问题2 结论1的逆命题是什么？是否成立？

结论2 双曲线 长轴的两个顶点与双曲线上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为 ．

问题3 能否对结论2作一般性推广？结论如何？

结论3 已知AB是过双曲线 的中心的一条弦， 是双曲线上异于顶点的一点，设直线 的斜率分别为 ，则 ．

问题4 在椭圆中能否给出类似的结论？

结论4 椭圆 上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为 ．

乘热打铁，我们可以再给出以下问题让学生进行练习，并对自己的发现加以体会．

y

问题1 如图，若为椭圆 的右顶点，直线AD、PD交直线 于 两点，则 的最小值为 ．

问题2（2011年江苏高考第18题）如图，在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．

（1）若直线PA平分线段NM时，求k的值；

y

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离 ；

（3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB．

最后，给同学留下一道思考题：

坐标平面上有两个定点 和动点 ，如果直线 的斜率之积为定值 ，试讨论点 的轨迹．

3 挖掘教材例、习题的应用功能，培养学生的应用意识和建模能力

数学应用意识是学生主动尝试从数学角度运用数学思想、方法，寻求问题解决策略，探索数学知识的应用价值的意识．培养学生数学应用的意识和能力，不仅是数学科学发展的需要，也是当前数学教育改革发展的必然趋势．教材中很多数学问题属于纯数学模型，但很多纯数学模型都有一定的应用背景，所以在数学教学中我们可以寻找一些有应用背景的问题来引导学生用数学的眼光，分析学生学习、生活以及其它领域的具体问题，让学生真正体会到数学源于现实、寓于现实、用于现实，从而培养学生应用数学工具分析和解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识．

例4 （苏教版《数学·选修2-2》第71页例2）已知 均为正实数， ，求证： ．

在讲完这个不等式的证法之后，我投影了下面的问题，让学生思考．

建筑学规定，民用住宅是窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，住宅的采光条件越好．问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．

分析 设原窗户面积为 ，地板面积为 ，则窗户面积和地板面积的比为 ．同时增加的窗户和地板面积为 ，则增加后的窗户面积和地板面积的比为 ．于是问题就是判断 和 的大小关系．很明显，由上述例题即得．

紧接着，我又给出如下课后练习．

我们每个人都有这样的生活体验：在一杯不饱和的糖水中加入一勺糖，糖水会变甜，你能用所学数学知识解释这一现象吗？试根据你的解释写一篇数学小论文《糖水为什么会变甜？》．

经过这样的处理，一个不等式在学生的脑海中马上与生活联系起来，既可以激发学生的学习兴趣，又可以让学生充分感受数学源于现实、服务于现实的道理，同时还可以培养学生的数学建模能力．

前苏联数学家奥加涅相说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性．”在数学教学中应提倡教师将教材中的例、习题进行探究、延伸或拓展，当然探究应结合教材的内容和学生的实际，并在教师的启发和指导下由学生讨论完成． （此文发表于《数学通讯》2015.5）

参考文献：

[1] 杨金忠．分形几何在高中思想中的渗透距离[J]．中学数学月刊，2014（7）．

[2] 石志群．用好教材 回归本真 实现数学的教育价值[J]．数学通报，2014（6）．

[3] 陈二光．一道课本例题的多解、变式与引申[J]．中学数学月刊，2012（12）．